Модем настроен в режиме Router. Как вывести окно отображения подключения.(выдает ошибки. и.т.д.)

Да никак.
Надо заходить на модем и только там можно смотреть.

Ещё варианты есть?

Как вы себе представляете?
АДСЛ Роутер - железка, на котором поднимается соединение и раздается интернет всем.

более того это не просто железка, а ооочень маленькая железка, с очень кастрированным ПО. в обычном случае можно было бы написать какой-нибудь скрипт, который будет например каждые 15 минут выкладывать инфу на ftp, а оттуда вы уже будите ее забирать. Модем на это не способен по ряду причин. вобщем никак.

хотя есть немного идиотское предложение написать прогаммулину которая будет конектится к модему, запрашивать то что вам требуется, сохранять результат например в файл, ну а файл уже вы будите обрабатывать.

Я хотел предложить тоже самое. НО!
1. Кто это будет писать? Кому это надо? Для написания такого надо навык лпрограммирования на хорошем уровне.
2. Зачем столько хлопот? Для чего это?